三つ巴のデザルグの定理

　定理　一つの二次曲線上にない 6点 A, B, C, D, E, F に対して
AB と DE の交点を P, BC と EF の交点を Q, CD と FA の交点を R とするとき, 次の6つの条件は同値である。
(i) AD, BE, CF は一点で交わる。
(ii) AQ, ER, CP は一点で交わる。
(iii) DQ, BR, FP は一点で交わる。
(iv) AC, DF, PQ は一点で交わる。
(v) AE, BD, QR は一点で交わる。
(vi) CE, BF, PR は一点で交わる。
このとき, (i), (ii), (iii) の交点は一直線上にある。

定理の仮定より, P, Q, R は一直線上にはありません。
(i) (または (ii), (iii))の条件が成り立てば, ⊿ACE と⊿DFB (または ⊿ACE と⊿QPR, ⊿DFB と⊿QPR)に対するデザルグの定理により,
(iv), (v), (vi) の交点が一直線上にあります。
上の定理はプリアンションの定理とその逆により, (i)-(vi)の各条件と6角形 ABCDEF の6辺に接する二次曲線が存在することが同値であることを示すことで証明できます (例えば, (iii) は 6角形 DRFQBP に対してプリアンションの定理とその逆を適用)。
最後の主張は⊿EBR と⊿CFP にデザルグの定理を適用すれば示せます。